Равновесие тела, не имеющего оси вращения

Типовые задачи:

Фонарь в саду подвешен за середину троса, растянутого между столбами. Определите силы натяжения в тросе, если масса фонаря 2 кг, а угол между частями троса 120 градусов.

Краткая теория:

Прежде всего, надо понять, что считается равновесием. Это √ относительная неподвижность тела, то есть тело не имеет ни поступательного ускоренного движения, ни вращательного. Это значит, что ускорение любой точки тела равно нулю. Для тела, которое не в состоянии совершать вращательное движение, условие равновесия очень простое - это равенство нулю равнодействующей всех сил, действующих на него. Для тела, имеющего ось вращения, это условие несколько иное.

Равнодействующая сил - это сила, которая заменяет действие нескольких сил. Равнодействующая сил находится как их сумма. Равнодействующая - тоже сила и подчиняется всем их правилам.

Сложение сил производится по правилам сложения векторов.
 
Пусть есть две силы: f1 и f2. Надо найти их сумму.

 

 


 
 

Перенесем по правилу сложения векторов начало второго вектора в конец первого.

 

 


 
 

Соединим начало первого вектора с концом второго. Полученный вектор - искомая сумма.

 

 

 

Формулы для решения:

Условие равновесия:

Для решения используются геометрические формулы и построения. Как правило, решается прямоугольный треугольник с использованием знаменитого соотношения (Теорема Пифагора):

а также теорема косинусов (если треугольник не прямоугольный):

Где "альфа" - угол между векторами .

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записываем условие задачи. Изображаем условие графически в произвольной системе отсчета, указав действующие на тело силы.
2. Записываем условия равновесия тела. При необходимости записываем уравнения для нахождения недостающих величин.
3. Проводим геометрические построения и аналитическое решение в общем виде.
4. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.
5. Записываем ответ.

Примеры решения:

Задача 1.
Фонарь в саду подвешен за середину троса, растянутого между столбами. Определите силы натяжения в тросе, если масса фонаря 2 кг, а угол между частями троса 120 градусов.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи. Изображаем условие графически в произвольной системе отсчета, указав действующие на тело силы.
 

2. Записываем условия равновесия тела. При необходимости записываем уравнения для нахождения недостающих величин.

3. Проводим геометрические построения и аналитическое решение в общем виде. Параллелограмм сил, построенный на силах натяжения троса, делится диагональю на два равных треугольника. Эти треугольники равносторонние как имеющие угол при основании 60 градусов. Следовательно, каждая из их сторон равна диагонали параллелограмма, а диагональ численно равна силе тяжести, действующей на фонарь, так как уравновешивает ее. Следовательно, сила натяжения троса численно равна силе тяжести.

К такому же результату можно придти аналитически.
 
Рассмотрим треугольник ABC. Это прямоугольный треугольник, так как диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом. Сторона AC численно равна половине mg, так как диагонали в ромбе делятся пополам. Угол при основании AC равен 60 градусам. Из этих соображений находим силу натяжения троса:

4. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

5. Ответ: сила натяжения троса примерно равна 20 ньютонам.