Действия с векторами: сложение векторов, разложение на составляющие, вычитание векторов, определение проекций вектора на координатные оси.

Типовые задачи по теме:

1. Два вектора длиной 5 и 7 единиц направлены под углом 90 градусов друг к другу. Найти их сумму.

2. Определить составляющие вектора длиной 10 единиц по заданным направлениям: под углом минус 30 (по часовой стрелке) и 60 (против часовой стрелки) градусов к исходному направлению для первого и второго составляющего вектора соответственно.

3. Два вектора длиной 11 и 5 единиц направлены под углом 45 градусов друг к другу. Найти их разность.

4. Определить проекции вектора длиной 50 единиц, направленного под углом 40 градусов к горизонту на координатные оси прямоугольной системы с горизонтальной осью абсцисс.

Краткая теория:

Вектора - это математические объекты, которые характеризуются своей величиной (длиной) и направлением. Например, перемещение, скорость, ускорение. Действия с векторами сложнее, чем с обычными величинами. Однако их с успехом можно складывать и вычитать. Их сумма и разность подчиняется геометрическим законам.





Сложение. Пусть нам надо найти сумму двух векторов, расположенных под некоторым углом друг к другу. Тогда надо путем параллельного переноса поместить начало второго вектора в конец первого и построить новый вектор, соединив начало первого вектора с концом второго: от первого ко второму. Полученный вектор и будет их суммой. Пусть даны вектора "a" и "b".







Найдем их сумму. Перенесем вектор "b".






Построим новый вектор из начала первого вектора в конец второго.

Вектор "c" - сумма векторов "a" и "b".








Вычитание.Пусть нам надо найти разность двух векторов, расположенных под некоторым углом друг к другу. Тогда надо путем параллельного переноса поместить начало второго вектора в начало первого и построить новый вектор, соединив конец второго вектора с концом первого: от второго к первому. Полученный вектор и будет их разностью.









Найдем их разность. Перенесем вектор "b".







Вектор "c" - разность векторов "a" и "b".

Разложение на составляющие. Любой вектор можно разложить на составляющие, то есть найти два таких вектора, которые в сумме дают исходный. Если не определено ни одной характеристики составляющих векторов, то таких разложений существует бесконечно много, если определен хотя бы один вектор (длина, направление) или по одной характеристике каждого вектора, то такое разложение становится единственным.


Дан вектор.










Найдем его произвольные составляющие. Построим вектор, начинающийся в его начале.








Достроим еще один вектор так, чтобы сумма двух новых векторов давала исходный вектор.

Вектора "a" и "b" - составляющие вектора "C".












Проекции вектора на координатные оси. Чтобы найти проекцию, надо из начала и конца вектора опустить перпендикуляры на координатную ось. Длина отрезка на координатной оси, заключенного между основаниями перпендикуляров - это проекция. Сама проекция направления не имеет, это скалярная величина. Она имеет знак. Положительный, если проекция конца вектора совпадает с положительным направлением оси и отрицательный, если наоборот.



Формулы для решения:

В простых случаях, когда вектора образуют прямоугольный треугольник, используется известное соотношение

Если треугольник произвольный, то используется теорема косинусов.

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записать условие задачи.

2. Изобразить условие геометрически в осях координат.

3. Переместить вектора в соответствии с вопросом задачи: для суммы, разности, проекций.

4. Построить искомый вектор или проекции геометрически.

5. Провести аналитический расчет.

6. Записать ответ.

Возможные особенности задач:

В некоторых простых задачах все геометрические построения могут быть выполнены сразу.

Примеры решения:

Задача 1.

Два вектора длиной 5 и 7 единиц направлены под углом 90 градусов друг к другу. Найти их сумму.

Решение.

Кратко записываем условие задачи.

Изображаем условие геометрически.

Перемещаем вектор "B" так, чтобы его начало совпало с концом вектора "A".

Строим искомый вектор "C".

Проводим аналитический расчет по теореме Пифагора.

Записываем ответ.

Ответ: Сумма векторов равна 8,6 единицы, направление - под углом 54,5 градуса к направлению первого вектора.

Задача 2.

Определить составляющие вектора длиной 10 единиц по заданным направлениям: под углом минус 30 (по часовой стрелке) и 60 (против часовой стрелки) градусов к исходному направлению для первого и второго составляющего вектора соответственно.

Решение.

Кратко записываем условие задачи.

Изображаем условие геометрически.

Строим составляющие вектора в заданных направлениях (не обязательно прямо на осях).

Проводим аналитический расчет их длин.

Записываем ответ.

Ответ: Составляющие вектора направлены под заданными углами и имеют длины 8,7 и 5 единиц.

Задача 3.

Два вектора длиной 11 и 5 единиц направлены под углом 45 градусов друг к другу. Найти их разность.

Решение.

Кратко записываем условие задачи.

Изображаем условие геометрически.

Перемещаем вектора в соответствии с правилом нахождения разности.

Строим искомый вектор.

Проводим аналитический расчет по теореме косинусов.

Записываем ответ.

Ответ: Вектор разности длиной 8,2 единицы направлен под углом 33,3 градуса к первому вектору.

Задача 4.

4. Определить проекции вектора длиной 50 единиц, направленного под углом 40 градусов к горизонту на координатные оси прямоугольной системы с горизонтальной осью абсцисс.

Решение.

Кратко записываем условие задачи.

Изображаем условие геометрически.

Перемещаем вектор в начало координат.

Строим проекции геометрически.

Проводим аналитический расчет.

Записываем ответ.

Ответ: Проекция на ось абсцисс 38,3 единицы, на ось ординат - 32,3 единицы.