Независимость движений

Типовые задачи по теме:

1. Как выглядит для пассажира, смотрящего из окна равномерно идущего поезда, траектория движения капли дождя в безветренную погоду? Движение капли считать равномерным.

2. Теплоход на подводных крыльях имеет собственную скорость 70 км/час. За сколько времени он пройдет вниз по течению между двумя пристанями, находящимися на расстоянии 36 км друг от друга? Скорость течения реки 2 км/час.

3. Лодка, двигаясь поперек реки шириной 50 метров со скоростью течения 0,4 м/с пристала к противоположному берегу на 10 метров ниже, чем отчаливала. Найти собственную скорость лодки в стоячей воде, скорость лодки во время движения через реку, пройденный путь.

Решения разных задач по теме

Краткая теория:

Тело может участвовать в нескольких движениях. Например, тело, движется в некоторой системе координат. Сама система координат тоже движется. Если мы взглянем на движение тела с точки зрения более широкой системы координат, охватывающей предыдущую, то мы увидим, траекторию тела, иную, чем в первой системе, траекторию, включающую в себя движение первой системы. Перемещение и скорость тела относительно второй системы будут выражаться суммами векторов перемещения и скорости тела в первой системе и перемещения и скорости самой первой системы относительно второй.

С другой стороны, любое сложное движение можно представить себе как сумму простых независимых движений. Эти движения "ничего не знают друг о друге", то есть они не влияют друг на друга. Если изменяется или вовсе прекращается одно, на другое это никак не повлияет. Именно этот принцип независимости лежит в основе того, что векторные величины мы можем разлагать на составляющие, на проекции на оси координат, представляя их как отдельные движения вдоль этих осей.

При сложении и разложении движений на независимые составляющие действуют законы сложения и разложения векторов.

Формулы для решения:

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записать условие задачи.

2. Изобразить графически движение в произвольной системе отсчета, указав траекторию пути, вектора перемещения, скорости, ускорения.

3. Скорректировать и обозначить на рисунке систему отсчета, введя начало отсчета времени и уточнив оси координат для движения, скорости и ускорения. Лучше направить их вдоль одного из перемещений, а отсчет времени начать в момент нахождения точки в нуле координат.

4. Записать уравнения движения и скорости. Уравнение движения и скорости - это зависимости перемещения (пути) и скорости от времени.

5. Решить уравнения в общем виде.

6. Подставить величины в общее решение, вычислить.

7. Записать ответ.

Возможные особенности задач:

Бывает, что в задаче надо описать трехмерное движение. Тогда к вышеуказанным уравнениям добавляется третье, аналогичное двум первым, по третьей оси координат.

Примеры решения:

Задача 1.

Как выглядит для пассажира, смотрящего из окна равномерно идущего поезда, траектория движения капли дождя в безветренную погоду? Движение капли считать равномерным.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2. Изображаем графически движение сразу вводя нужные системы отсчета.







В системе отсчета, связанной с Землей: капля падает вертикально на землю, поезд проезжает мимо точки отсчета и мимо капли.









В системе отсчета, связанной с поездом: поскольку поезд проезжает мимо капли, она кажется падающей наискось навстречу движению поезда.




3. Мы сразу выбрали нужные системы координат.

4. В данной задаче не надо делать никаких вычислений

5. Записываем ответ.

Ответ: Траектория движения капли для пассажира, едущего в поезде имеет вид наклонной прямой.

Задача 2.

Теплоход на подводных крыльях имеет собственную скорость 70 км/час. За сколько времени он пройдет вниз по течению между двумя пристанями, находящимися на расстоянии 36 км друг от друга? Скорость течения реки 2 км/час.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2. Изображаем графически движение в удобной системе отсчета.

3. Введенная в предыдущем пункте система отсчета в коррекции не нуждается.

4. Записываем уравнения движения и скорости в векторной форме.

Записываем в проекциях на ось координат. Поскольку ось одна и проекции численно равны величинам векторов, мы их записываем без дополнительных обозначений.

5. Решаем уравнения в общем виде.

6. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

7. Записываем ответ.

Ответ: Теплоход пройдет от одной пристани до другой за почаса.

Задача 3.

Лодка, двигаясь поперек реки шириной 50 метров со скоростью течения 0,4 м/с пристала к противоположному берегу на 10 метров ниже, чем отчаливала. Найти собственную скорость лодки в стоячей воде, скорость лодки во время движения через реку, пройденный путь.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2. Изображаем графически движение.

3. Корректируем систему отсчета, выбирая удобные оси вдоль перемещений. Отсчет времени начинаем в момент начала движения лодки.

4. Записываем уравнения движения и скорости, учитывая, что все движения совершались за одновременно за одно и то же время "t".

5. Решаем уравнения в общем виде.

Величины численно равны проекциям величин "s" и "v" на координатные оси. Мы их используем в соответствующих уравнениях.

Разделим первое уравнение на второе. Получим:

"s" и "v" находятся из элементарных соотношений прямоугольного треугольника:

6. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

7. Записываем ответ.

Ответ: Собственная скорость лодки в стоячей воде 4 м/с, пройденный ею путь - 56 м, скорость на этом пути - 4,5 м/с.