Прямолинейное равномерное движение

Типовые задачи по теме:

1. Можно ли считать равномерным движение автомобиля, едущего по прямому шоссе, если в начальный момент времени показания спидометра были 35765 км, через пять минут - 35770 км, через 10 минут - 35775 км, через 15 минут - 35780 км и так далее?

2. Лифт жилого дома поднимается равномерно со скоростью 1,5 м/с. Считая высоту каждого этажа 3 м, напишите уравнение его движения и вычислите время подъема с 3 на 16 этаж.

3. Определите координаты равномерно катящегося шарика в момент времени t, равный 5 секундам, если в ноль времени он находился в нуле координат. Шарик катится со скоростью 2 см/с по прямому желобу, расположенному под углом 30 градусов к оси ординат (ось Y).

Краткая теория:

Движение, при котором точка (тело), двигаясь по прямой в одном направлении, за любые равные промежутки времени проходит равные пути, называется равномерным прямолинейным движением. Иными словами, при равномерном прямолинейном движении перемещения, совершаемые точкой (телом) в любые равные промежутки времени, равны между собой.

Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна по величине и направлению.

Для характеристики движения точки (тела) выбирается система координат, в которой записывается уравнение, описывающее траекторию движения точки (тела)в зависимости от времени. Это уравнение называется уравнением движения. Как правило, выбирается прямоугольная система координат.

Формулы для решения:

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записать условие задачи.

2. Изобразить графически движение, обозначив стрелками скорость и направление движения.

3. Ввести систему отсчета, выбрать оси координат и начало отсчета времени. Хорошо одну из осей направить вдоль направления движения или скорости, а отсчет времени начать в момент нахождения точки в нуле координат.

4. Записать уравнение движения на основе формул из числа вышеуказанных.

5. Решить уравнение в общем виде.

6. Подставить величины в общее решение, вычислить.

7. Записать ответ.

Возможные особенности задач:

В некоторых задачах не обязательно в явном виде записывать уравнение движения. Достаточно определить, подходит ли движение под определение равномерного прямолинейного движения.

Примеры решения:

Задача 1.

Можно ли считать равномерным движение автомобиля, едущего по прямому шоссе, если в начальный момент времени показания спидометра были 35765 км, через пять минут - 35770 км, через 10 минут - 35775 км, через 15 минут - 35780 км и так далее?

Решение.

Для ответа на вопрос надо в соответствии с определением равномерного прямолинейного движения определить, проходит ли точка (тело) за равные промежутки времени равные пути.

1. Кратко записываем условие.

2. Изображаем движение.

3. Вводим систему отсчета, состоящую их одной оси координат, направленной вдоль движения и часов с началом отсчета времени, соответствующем показанию спидометра 35765 км (Смотри рисунок в предыдущем пункте).

4. Определяем дельта-s для каждой из последовательных пятиминуток:

Первые пять минут - 5 км. Вторые пять минут - 5 км. Третьи пять минут - 5 км.

Таким образом, можно сказать (в пределах точности измерения времени и расстояния), что движение действительно равномерное. В условии указано, что шоссе прямое. Следовательно, движение равномерное прямолинейное.

5, 6. Формул и решения в общем виде не надо.

7. Записываем ответ.

Ответ: движение автомобиля можно считать равномерным прямолинейным в пределах точности измерения.

Задача 2.

Лифт жилого дома поднимается равномерно со скоростью 1,5 м/с. Считая высоту каждого этажа 3 м, напишите уравнение его движения и вычислите время подъема с 3 на 16 этаж.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.


2, 3. Рисуем рисунок с условиями задачи.Вводим систему отсчета: выбираем ось координат и начало отсчета времени. Ось направляем вдоль направления движения лифта, ноль координат выбираем на уровне пола третьего этажа, а отсчет времени - в момент нахождения пола лифта на уровне пола третьего этажа.

4. Записываем уравнение движения на основе формул из числа вышеуказанных:

где дельта-s - высота подъема, v - скорость подъема, дельта-t - время подъема.

Это и есть уравнение движения.

5. Решаем уравнение в общем виде.

Из уравнения движения находим:

Высота подъема легко находится умножением количества этажей на высоту каждого этажа:

Подставляем это выражение:

Это решение в общем виде.

6. Подставляем величины в общее решение и вычисляем:

7. Записываем ответ.

Ответ: уравнение движения

Время подъема с 3 этажа на 16 составляет 26 секунд.

Задача 3.

Определите координаты равномерно катящегося шарика в момент времени t, равный 5 секундам, если в ноль времени он находился в нуле координат. Шарик катится со скоростью 2 см/с по прямому желобу, расположенному под углом 30 градусов к оси ординат (ось Y).

Решение.

1, 2, 3. Кратко записываем условие задачи. Для большей наглядности рядом изображаем движение шарика. Вид сверху. Рисунок сразу выполняем в координатных осях.

4. Записываем уравнение движения:

5. Решаем уравнение в общем виде.

Нам надо найти координаты шарика. Это проекции отрезка дельта-s на оси координат. Сам отрезок находится прямо из уравнения движения. Его проекции находятся обычными тригонометрическими формулами:

Заменив в этих формулах дельта-s на его выражение через скорость и время (уравнение движения), получим решение в общем виде:

6. Подставим в общее решение конкретные значения и вычислим.

7. Записываем ответ.

Ответ: координаты шарика через 5 секунд равны: абсцисса (ось x) - 5 см, ордината (ось y) - 8,7 см, или, переводя в систему СИ, 0,05 м и 0,087 м соответственно.