Закон всемирного тяготения

Типовые задачи:

1. Радиус планеты в 4 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в 80 раз меньше массы Земли. Определить ускорение свободного падения на поверхности планеты.

2. На какой высоте над Землей ускорение силы тяжести будет в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли?

3. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 6 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет в равновесии?

Решения разных задач по теме

Краткая теория:

Все тела притягиваются друг к другу просто потому, что у них есть такое свойство. Это закон всемирного тяготения. Если тела представить как материальные точки, то силу притяжения можно вычислить по формуле:

m1 и m2 - массы взаимодействующих тел, R - расстояние между ними, G - гравитационная постоянная.

Формулы для решения:

Закон всемирного тяготения.

Законы Ньютона.

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записываем условие задачи.

2. Изображаем условие графически в произвольной системе отсчета, указав действующие на тело (точку) силы.

3. Корректируем и обозначаем на рисунке систему отсчета, вводя начало отсчета времени и уточняя оси координат для сил и ускорения. Лучше направить ось вдоль одной из сил, а отсчет времени начать в момент нахождения тела (точки) в нуле координат.

4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона и уравнения движения. Уравнения движения и скорости - это зависимости перемещения (пути) и скорости от времени.

5. Записываем в эти же уравнения в проекциях на оси координат. Записываем закон всемирного тяготения.

6. Решаем уравнения в общем виде.

7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

8. Записываем ответ.

Примеры решения:

Задача 1.

Радиус планеты в 4 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в 80 раз меньше массы Земли. Определить ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2, 3. Представим себе тело на поверхности этой планеты. Представим себе, что тело совершило бесконечно малое перемещение под действием силы притяжения. Изобразим условие графически, указав действующие на тело силы. Сразу обозначим на рисунке систему отсчета.

4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона, обозначив массу тела "mтела".

5. Записываем уравнения в проекциях на оси координат. Записываем закон всемирного тяготения. Учитываем, что проекция на ось абсцисс равна нулю, а на ось ординат - длинам векторов.

6. Решаем уравнения в общем виде.

Здесь надо сделать одно существеннейшее допущение о равенстве инертной и гравитационной масс. Ведь ниоткуда не следует, что масса тела, входящая в закон Ньютона та же самая, что и входящая в закон всемирного тяготения. Такое предположение делается.

7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

8. Ответ: ускорение свободного падения на планете в пять раз меньше, чем на Земле, что составляет примерно 2 м/с2.

Задача 2.

На какой высоте над Землей ускорение силы тяжести будет в 4 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2, 3. Изображаем условие графически, указав действующее на тело силы. Сразу обозначаем на рисунке систему отсчета.

4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона. Ускорение в этом законе - это ускорение, с которым падало бы тело под действием силы тяжести.

5. Записываем уравнения в проекциях на оси координат. Записываем закон всемирного тяготения.

6. Решаем уравнения в общем виде.

7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

8. Ответ: высота равна радиусу Земли: 6400 км.

Задача 3.

Расстояние между центрами Земли и Луны равно 6 Земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет в равновесии?

Решение.

1. Кратко записываем условие задачи.

2, 3. Изображаем условие графически, указав действующие на тело силы. Сразу обозначаем на рисунке систему отсчета.

4. Записываем в векторной форме
второй закон Ньютона.

5. Записываем уравнения в проекциях на оси координат.
Записываем закон всемирного тяготения.

6. Решаем уравнения в общем виде.

7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.

8. Ответ: точка равновесия находится на расстоянии 30200 км от центра Земли на прямой, соединяющей Землю и Луну.